La scelta di un motore passo passo è un punto importante della
progettazione di macchine basate su questo tipo di motori. Tale scelta si
effettua principalmente in base alla coppia richiesta. La coppia di un
motore è per definizione la forza applicata per produrre un moto di rotazione,
si misura generalmente in N*m e si calcola moltiplicando la forza
applicata per la distanza dal punto dove è applicata al centro di
rotazione (raggio del disco). L'immagine seguente può essere di
aiuto per capire la coppia di un motore:
Figura 1
Nel disegno di figura 1, se il peso è di 102g, essendo 1N=0,102 Kgf,
avremo una forza di 1N, se il raggio del disco è di 1m avremo una coppia di 1*1=1N*m.
Occorrerebbe quindi un motore passo passo con coppia di mantenimento di
1N*m per poter mantenere il peso in una posizione stabile.
Per coppia di mantenimento (holding torque) in un
motore passo passo si intende la coppia del motore sottoposto ad energia in
una determinata posizione (fermo). Per misurarla con il sistema in figura 1 bisogna
aumentare il peso finché il motore
riesce a mantenerlo fermo.
Diversamente la coppia di esercizio (pull-out) di un motore non è
unica ma può essere rappresentata come una curva funzione del numero di passi al
secondo (step rate o frequenza di step). Tale curva decresce al crescere del
valore di frequenza dei passi. E' quindi evidente che più elevata è la velocità di rotazione richiesta tanto
più bisognerà scegliere un motore con coppia di di mantenimento elevata.
Ma come calcolare la coppia richiesta? Il calcolo dipende
dal sistema di trasmissione della forza usato. Nelle applicazioni con motori
passo passo, generalmente, vengono usati quattro diversi sistemi: accoppiamento
diretto, ad ingranaggi, a pulegge e cinghia e con vite a ricircolo di sfere.
Il primo calcolo da effettuare è l'inerzia del sistema.
L'inerzia di un cilindro solido può essere calcolata nel caso in cui si conosce
il suo peso e il suo raggio come nel caso in cui si conosce la densità del
materiale di cui è composto, la sua lunghezza e il raggio. Il momento di
inerzia è la tendenza di un corpo a resistere ad una accelerazione
angolare. Moltiplicando il momento di inerzia per una accelerazione angolare si
ottiene una coppia. Una volta calcolata l'inerzia di un corpo quindi
moltiplicando il valore per l'accelerazione voluta si ottiene la coppia di
accelerazione, parametro utile alla scelta del motore passo passo.
Calcolo dell'inerzia di un cilindro:
Per raggio e peso noti:
J=M/(2g)*r²
Per raggio, densità e lunghezza:
J=(πlpr4)/(2g)
Dove:
J= inerzia [kg-cm-s²]
M= peso [kg]
r= raggio [cm]
l= lunghezza [cm]
p= densità del materiale [kg/cm³]
g= accelerazione di gravità 981[cm/s²]
dove:
Vm=velocità motore [giri/min]
Vc=velocità carico [giri/min]
Jt=inerzia totale [kg-cm-s²]
Jm=inerzia del rotore del motore [kg-cm-s²]
Mt=coppia totale [kg-cm]
M'=coppia di carico [kg-cm]
dove:
Vm= velocità motore [giri/min]
Vl= velocità lineare del carico [cm/s]
r= raggio della puleggia [cm]
Mt= coppia di carico riflessa sull'asse motore [kg-cm]
Ma= coppia di attrito [kg-cm]
Fc= coppia di carico [kg-cm]
Jt= inerzia totale [kg-cm-s²]
Jm= inerzia del motore [kg-cm-s²]
Jp= inerzia della puleggia [kg-cm-s²]
m= peso del carico [kg]
Fa= forza di attrito [kg]
g= accelerazione di gravità 981[cm/s²]
dove:
Vm= velocità motore [giri/min]
Vc= velocità carico [giri/min]
Nm= numero denti ingranaggio motore
Nc= numero denti ingranaggio carico
Mt= coppia riflessa sul motore [kg-cm]
M'= coppia del carico non riflessa {kg-cm]
Jt= inerzia totale del sistema [kg-cm-s²]
Jc=inerzia del carico [kg-cm-s²]
Jm=inerzia del motore (rotore) [kg-cm-s²]
Jnc=inerzia ingranaggio carico [kg-cm-s²]
Jnm=inerzia ingranaggio motore [kg-cm-s²]
Accoppiamento con vite a
ricircolo di sfere:
Velocità: Vm=Vc*p
[cm/s]
Coppia di carico: Mt= 1/(2π)*Fc/(pe)+1/(2π)Fpc/p*0.2
Coppia di attrito: Ma=1/(2π)(µm cosθ + m sinθ)/(pe)
Inerzia: Jt=m/g (1/(2πp))²1/e + Jvr + Jm
dove:
Vm= velocità del motore [giri/min]
Vc= velocità lineare del carico [cm/s]
p= passo della vite [giri/cm]
e= rendimento della vite
θ= inclinazione
Mt= coppia di carico sull'asse motore [kg-cm]
Ma= coppia di attrito [kg-cm]
Fc= Forza di carico [kg]
Fpc= Forza di precarico della vite [kg]
Jt= Inerzia totale del sistema [kg-cm-s²]
Jm= Inerzia del rotore del motore [kg-cm-s²]
Jvr= inerzia della vite [kg-cm-s²]
m= peso del carico [kg]
Fa= forza di attrito [kg]
µ= coefficiente di attrito
g= accelerazione di gravità 981 [cm/s²]
0.2=coefficiente standard per la forza di precarico
Rendimenti tipici:
Vite a ricircolo: 0,90
Vite trapezioidale (chiocciola in plastica): 0,65
Vite trapezioidale (chiocciola in metallo): 0,40
Coefficienti di frizione:
acciaio-acciaio: 0,580
acciaio-acciaio(lubrificato): 0,150
teflon su acciaio: 0,040
cuscinetti lineari: 0,003
Curve di pull-out di un motore passo passo
Bisogna considerare che la curva di coppia descritta nelle
figure sopra per ogni modello di motore passo passo, che in realtà si chiama curva di pull-out,
corrisponde alla coppia massima che può essere applicata al motore mentre viene
fatto ruotare ad una determinata frequenza senza perdere il passo. In
queste condizioni non è possibile variare bruscamente la velocità del motore
pena la possibile perdita di passo se non la condizione di stallo
(il motore si ferma).
La curva di pull-in, quella coppia
applicata al motore con la quale è possibile avviare il motore ad una
determinata frequenza, invertire la direzione o decelerare senza perdere il
passo, è inferiore a quella di pull-out e non sempre documentata da tutti
i costruttori.
Con un sistema di assi comandato da un controller che genera
rampe di accelerazione correttamente ci si può avvicinare alla curva di pull-out
(sfruttare meglio la curva di coppia) ma è bene mantenersi al di sotto in modo
da avere margini. Generalmente un sistema di assi, oltre a muovere la meccanica
e i carichi trasportati,
deve effettuare un lavoro, e quindi è soggetto a coppie contrarie superiori a
quelle dovute alla sola inerzia, gli attriti o forze contrarie al moto possono
variare o aumentare nel tempo ecc.
Un esempio pratico:
Configurazione assi con vite a ricircolo di sfere.
misure di lunghezza in cm
lunghezza della vite: 40 cm
passo della vite: 2 giri/cm (5 mm)
diametro della vite: 1,6 cm.
rendimento della vite: 0,90
peso del carico: 250kg
profilo di velocità richiesto:
velocità massima: 5 cm/s
accelerazione: t=0,12s a=5/0,12=41,7cm/s²
densità dell'acciaio: 0.00775 kg/cm³ (p')
motore da 4,8N-m (holding torque) NEMA34
inerzia del rotore: 0,00122 kg-cm-s²
inerzia della
vite: Jv=(πlp'r4)/(2g)=(3,14*40*0.00775*0,8^4)/1962=2,033*10-4
kg-cm-s² inerzia totale:
Jt=m/g (1/(2πp))²1/e + Jv + Jm=250/981*0,007+2,033*10-4+0,00122=
0.00321 kg-cm-s² numero di giri del motore alla velocità massima:
n=v*p=10 giri/s accelerazione angolare del motore:
ω'=2π*n/t=10*6,28/0,12=523,3 rad/s² coppia necessaria per accelerare il carico:
Ma=(Jc+Jv+Jm)ω'=0.00321*523,3=1,68 kg-cm =0,165 N-m
Il motore, se pilotato a 1/2 passo (400 passi/giro) raggiunge la massima
velocità a 400*10 4000 passi/s. A questa frequenza la coppia massima è di
circa 1,5N-m, quindi superiore alla coppia richiesta per accelerare il
carico.
Bisogna considerare che non sono state calcolate le forze di attrito. Queste
sono quelle dovute ad eventuali guide lineari e alle forze di precarico
della vite a ricircolo.
Bisogna prestare particolare attenzione quando l'asse in
movimento si sposta in verticale. In tal caso la coppia necessaria ad
accelerare il sistema è molto maggiore in quanto il motore deve contrastare
l'accelerazione di gravità. Nel caso precedente occorrerebbe aggiungere 2,16 Nm.
In rete esistono diversi software gratuiti per il calcolo dei
motori passo passo. E' sufficiente fare una ricerca su google con la stringa "stepper
motor sizing program" per trovarli.
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